互斥事件与独立事件 - 概率加法规则与乘法规则的应用
互斥事件是指无共同结果的事件，即两个事件不可能同时发生，维恩图中曲线不重叠。
概率加法规则：\( P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) \)
条件概率关系：如果A发生，B必不发生，故 \( P(A \text{ but not } B) = P(A) \)
都不发生的概率：\( P(\text{neither } A \text{ nor } B) = 1 - P(A \text{ or } B) \)
独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率的事件。
概率乘法规则：\( P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) \)
判断方法：验证 \( P(A \text{ and } B) \) 是否等于 \( P(A) \times P(B) \)
互斥事件：不可能同时发生，\( P(A \cap B) = 0 \)
独立事件：发生概率相互不影响，但可能同时发生
关键区别：互斥事件不能同时发生，而独立事件可能同时发生，但概率不受影响
Events \( A \) and \( B \) are mutually exclusive events, where \( P(A) = 0.2 \) and \( P(B) = 0.4 \)
Find:
a) \( P(A \text{ or } B) \)
b) \( P(A \text{ but not } B) \)
c) \( P(\text{neither } A \text{ nor } B) \)
a) \( P(A \text{ or } B) \)
因\( A \)、\( B \)互斥，由加法规则：
\( P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B) = 0.2 + 0.4 = 0.6 \)
b) \( P(A \text{ but not } B) \)
互斥事件中A发生则B必不发生，故：
\( P(A \text{ but not } B) = P(A) = 0.2 \)
c) \( P(\text{neither } A \text{ nor } B) \)
既不A也不B的概率：
\( P(\text{neither } A \text{ nor } B) = 1 - P(A \text{ or } B) = 1 - 0.6 = 0.4 \)
Events \( A \) and \( B \) are independent events, where \( P(A) = \frac{1}{3} \) and \( P(B) = \frac{1}{5} \)
Find \( P(A \text{ and } B) \)
因\( A \)、\( B \)独立，由乘法规则：
\( P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \)
The Venn diagram shows the number of students in a class who watch any of three popular TV programmes, \( A \), \( B \) and \( C \).
a) Find the probability that a student chosen at random watches \( B \) or \( C \) or both.
b) Determine whether watching \( A \) and watching \( B \) are independent events.
步骤1：计算总人数
总人数：\( 3 + 4 + 5 + 10 + 7 + 1 = 30 \)
a) 看B或C的人数
看B或C的人数：\( 4 + 5 + 10 + 7 = 26 \)，概率：
\( P(\text{watches } B \text{ or } C) = \frac{26}{30} = \frac{13}{15} \)
b) 计算各概率
\( P(A) = \frac{3 + 4}{30} = \frac{7}{30} \)
\( P(B) = \frac{4 + 5 + 10}{30} = \frac{19}{30} \)
\( P(A \text{ and } B) = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \)
验证独立性
\( P(A) \times P(B) = \frac{7}{30} \times \frac{19}{30} = \frac{133}{900} \)
而\( \frac{2}{15} = \frac{120}{900} \)，两者不相等，故**\( A \)和\( B \)不独立**。
定义：不可能同时发生的事件
维恩图特征：曲线不重叠，无交集区域
概率特征：\( P(A \cap B) = 0 \)
例子：抛硬币出现正面或出现反面
定义：一个事件的发生不影响另一个事件的发生概率
维恩图特征：曲线可能重叠，但区域大小满足独立性条件
概率特征：\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
例子：连续抛两枚硬币出现正面
互斥事件：不可能同时发生，交集概率为0
独立事件：可能同时发生，但发生概率相互不影响
注意：互斥事件一定是相依事件，而独立事件可能同时发生